- Log in to post comments
Carl Friedrich Gauss, un dos máis grandes matemáticos, dise que afirmou: "As matemáticas son a raíña das ciencias e a teoría dos números é a raíña das matemáticas". As propiedades dos números primos xogan un papel crucial na teoría dos números. Outras materias como a bioloxía, a química ou a física baséanse en solucións matemáticas.
Hoxe en día, en ciencia en galego, a incluímos a Simetría coma ciencia básica, e relacionada co cambio climático polo seu significado de equilibrio, mesura, proporción que falla nos fai para aturar e domeñar o cambio climático.
Tamén domina física de cordas, os invariantes en física, a mineraloxía, en arte, na beleza, a cosmoloxía, de tal modo que podemos afirmar Symmetry, queen of Universe, ao estil0 de Gauss.
Entón imos propoñer unhas lecturas sobre Simetría e Galois (está nun capítulo do libro Beauty is truth. The History of Symmetry de Ian Stewart)
Aquí, pronto a tradución do capítulo
Primeiro o prefacio do libro Beauty is truth.
A data é o 13 de maio de 1832. Na néboa do amencer enfróntanse dous mozos franceses entre si, con pistolas, nun duelo por unha muller nova. Escóitase un tiro; un dos homes cae ao chan, ferido de morte. Morre dúas semanas despois, por peritonite, de 21 anos, e está enterrado na fosa común, unha fosa sen marcar. Unha das ideas máis importantes da historia das matemáticas e da ciencia case morre con el.
O duelista superviviente segue sendo descoñecido; o que morreu foi Evariste Galois, un revolucionario político e un obsesivo das matemáticas cuxos traballos recollidos enchen apenas sesenta páxinas. Porén, Galois deixou un legado que revolucionou as matemáticas. Inventou unha linguaxe para describir a simetría en estruturas matemáticas e deducir as súas consecuencias.
Hoxe esa linguaxe, coñecida como "teoría de grupos", está en uso en todo o mundo matemática pura e aplicada, onde rexe a formación de patróns no mundo natural. A simetría tamén xoga un papel central nas fronteiras da física, no mundo cuántico do moi pequeno e no mundo relativista do moi grande. Incluso pode proporcionar unha ruta para a tan buscada "Teoría do Todo", unha unificación matemática desas dúas ramas fundamentais da física moderna. E todo comezou cunha pregunta sinxela en álxebra, sobre as solucións de ecuacións matemáticas: atopar un número "descoñecido" x a partir dunhas poucas pistas matemáticas.
A simetría non é un número nin unha forma, senón un tipo especial de transformación: un xeito de mover un obxecto. Se o obxecto ten o mesmo aspecto despois de ser transformado, entón a transformación en cuestión é unha simetría. Por exemplo, un cadrado ten o mesmo aspecto se se xira nun ángulo recto.
Esta idea, moi estendida e embelecida, é fundamental para a actual comprensión científica do universo e das súas orixes. No corazón da teoría da relatividade de Albert Einstein está o principio de que as leis da física debe ser a mesma en todos os lugares e en todo momento. É dicir, as leis deben ser simétricas con respecto ao movemento no espazo e ao paso do tempo. A física cuántica dinos que todo no universo está construído a partir dunha colección de partículas "fundamentais" moi pequenas. O comportamento destas partículas réxese por ecuacións matemáticas -"leis da natureza"- e esas leis de novo posúen simetría. As partículas pódense transformar matemáticamente en partículas bastante diferentes, e estas transformacións tamén deixan as leis da física inalteradas.
Estes conceptos, e outros máis recentes nas fronteiras da actualidade física, non podería ser descuberto sen unha profunda comprensión matemática da simetría. Esta comprensión viña de puras matemáticas; o seu papel na física xurdiu máis tarde. Ideas extraordinariamente útiles poden xurdir de consideracións puramente abstractas, algo ao que o físico Eugene Wigner se referiu como "a eficacia irrazonable das matemáticas nas ciencias naturais". Coas matemáticas, ás veces parece que sacamos máis do que poñemos.
Comezando polos escribas da antiga Babilonia e rematando cos físicos do século XXI, Why Beauty Is Truth conta como os matemáticos tropezaron co concepto de simetría e como unha busca aparentemente inútil do que resultou ser un fórmula imposible abriu unha nova fiestra sobre o universo e revolucionou a ciencia e as matemáticas. De xeito máis amplo, a historia da simetría ilustra como a influencia cultural e a continuidade histórica das grandes ideas poden poñerse en relevo a través de trastornos ocasionais, tanto políticos como científicos. A primeira metade do libro pode parecer a primeira vista que non ten nada que ver con simetría e pouco que ver co mundo natural.
A razón é que a simetría non se converteu nunha idea dominante pola vía que se podería esperar, a través da xeometría. Pola contra, o concepto de simetría profundamente fermoso e indispensable que os matemáticos e os físicos usan hoxe chegou a través da álxebra. Polo tanto, gran parte deste libro describe a busca de solucións de ecuacións alxébricas. Isto pode parecer técnico, pero a misión é apaixonante e moitos dos xogadores clave levaron vidas inusuais e dramáticas. Os matemáticos son humanos, aínda que moitas veces se perden no pensamento abstracto. Algúns deles poden deixar que a lóxica goberne demasiado as súas vidas, pero veremos unha e outra vez que os nosos heroes poden ser demasiado humanos. Veremos como viviron e morreron, leremos as súas relacións amorosas e duelos, as viciosas disputas de prioridades, os escándalos sexuais, a borracheira e as enfermidades, e no camiño veremos como as súas ideas matemáticas se desenvolveron e cambiaron o noso mundo.
Comezando no século X a, C. e alcanzando o seu clímax con Galois a principios do século XIX, a narración recorre paso a paso a conquista das ecuacións, un proceso que acabou por deterse cando os matemáticos intentaron conquistar a chamada "quintica", que implica a quinta potencia da descoñecida x...
Foi Galois quen descubriu que a imposibilidade de resolver o quíntica deriva das simetrías da ecuación. Se esas simetrías pasan a proba de Galois, por así dicir, quere dicir que encaixan dun xeito moi específico, que aínda non vou explicar, entón a ecuación pódese resolver mediante unha fórmula alxébrica.
Se as simetrías non pasan a proba de Galois, entón non existe esa fórmula. A ecuación quíntica xeral non se pode resolver mediante unha fórmula porque ela ten o tipo incorrecto de simetrías.
O seu descubrimento épico creou o segundo tema deste libro: o de a grupo: un "cálculo de simetría" matemático. Galois tomou unha antiga tradición matemática, a álxebra, e reinventouna como ferramenta para o estudo da simetría.
.....
Ata agora, a interpretación dos grupos como simetrías foi algo metafórica. Agora temos que facelo máis literal, e ese paso require un punto de vista máis xeométrico. Os sucesores de Galois decatáronse rapidamente de que a relación entre grupos e simetría é moito máis fácil de entender no contexto da xeometría. De feito, así se adoita presentar a materia ao alumnado.
Para ter unha idea desta relación, botaremos unha ollada rápida ao meu grupo favorito: o grupo de simetría dun triángulo equilátero. E por fin abordaremos unha pregunta moi básica: que é exactamente a simetría?
Antes de Galois, todas as respostas a esta pregunta eran cousas bastante vagas e onduladas, con apelacións a características como a elegancia de proporción. Este non é un concepto co que poidas facer matemáticas sensatas. Despois de Galois -e despois dun curto período durante o que o mundo das matemáticas resolvía as ideas xerais detrás da súa aplicación tan específica- houbo unha resposta sinxela e inequívoca. En primeiro lugar, a palabra "simetría" ten que ser reinterpretada como "unha simetría". Os obxectos non posúen simetría só; a miúdo posúen moitas simetrías diferentes.
Que é, entón, unha simetría? Unha simetría dalgún obxecto matemático é unha transformación que preserva a estrutura do obxecto. Descomprimirei esta definición nun momento, pero o primeiro punto a observar é que unha simetría é un proceso máis que unha cousa. As simetrías de Galois son permutacións (das raíces dunha ecuación), e unha permutación é unha forma de reorganizar as cousas. Non é, en rigor, a propia reordenación; é a regra que aplicas para conseguir a reorganización. Non o prato senón a receita.